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北師大版八年級下冊數學教案含教學反思（全冊共169頁）第一章 三角形的證明1 等腰三角形第1課時 等腰三角形的性質教學目標【知識與技能】能夠借助數學符號語言利用綜合法證明等腰三角形的性質定理.【過程與方法】經歷“探索發現猜想證明”的過程，讓學生進一步體會證明是探索活動的自然延續和必要發展，發展學生的初步的演繹邏輯推理的能力.【情感態度】啟發引導學生體會探索結論和證明結論，及合情推理與演繹的相互依賴和相互補充的辯證關系.【教學重點】探索證明等腰三角形性質定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和方法.【教學難點】明確推理證明的基本要求,如明確條件和結論，能否用數學語言正確表達等.教學過程一、情景導入提前請學生回憶并整理已經學過的8條基本事實中的5條：1.兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行；2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等；3.兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等（SAS）；4.兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（ASA）；5.三邊對應相等的兩個三角形全等（SSS）.【教學說明】對以前所學知識進行復習鞏固，為本節課的學習作準備.二、新課教授1.你能用所學知識證明嗎？已知：ABC與DEF，A=D,B=E,BC=EF.求證：ABCDEF.證明：A=D,B=E（已知），A+B+C=180，D+E+F=180（三角形內角和等于180），C=180-(A+B)，F=180-(D+E).C=F（等量代換）.又BC=EF（已知），ABCDEF（ASA）.【歸納結論】1.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（AAS）.2.根據全等三角形的定義，我們可以得到：全等三角形的對應邊相等，對應角相等.2.等腰三角形有哪些性質？以前是如何探索這些性質的，你能再次通過折紙活動驗證這些性質嗎？【教學說明】讓學生經歷這些定理的活動驗證和證明過程.具體操作中，可以讓學生先獨自折紙觀察.探索并寫出等腰三角形的性質，然后再以六人為小組進行交流，互相彌補不足.【歸納結論】（1）等腰三角形的兩底角相等.（簡稱為“等邊對等角”）（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上的高三條線重合.三.運用新知，深化理解1.在ABC中，ABAC， A50，求B，C的度數.解：在ABC中，ABAC，BC.（等邊對等角）ABC180，A50,BC65.2.在ABC中，ABAC，直線AE交BC于點D，O是AE上一動點但不與A重合，且OBOC，試猜想AE與BC，BD與CD的關系，并說明你的猜想的理由.解：猜想：AEBC，BDCD.理由如下：ABAC，OBOC，AOAO，ABOACO（SSS）.BAOCAO.AE為BAC的平分線.AEBC，BD=CD.3.如圖，AC與BD交于點O，AD=CB，E，F是BD上兩點，且AE=CF，DE=BF.求證：（1）D=B；（2）AECF證明：（1）在ADE與CBF中,AD=CB,AE=CF,DE=BF,ADECBF（SSS）. D=B （2）ADECBF,AED=CFB,AEO=CFO.AECF.4.如圖，在ABC中，AB = AC，ADBC,BAC = 100.求1，3，B的度數.解：在ABC中，AB = AC，ADBC,1=2.1=BAC=50.又ADBC,3=90.在ABC中,AB = AC,B=C=40.【教學說明】在此練習過程中，一定要注意學生的書寫格式，必要時教師要在黑板上板書過程.4、 課堂小結在本節課的教學中，要采用小組合作的方式教學，在小組合作的基礎上教師通過分析、提問，和學生一起完成以上幾個性質定理的證明，注意最好讓兩至三個學生板演證明,其余學生注意其證明過程的書寫是否規范.其后，教師作補充強調.布置作業教材“習題1.1”中第1、3題.教學反思1.學習了等腰三角形的性質，較好地運用其性質解決等腰三角形的問題.2.知道等腰三角形的頂角平分線、底邊中線與底邊上的高互相重合.第2課時 等邊三角形的性質教學目標【知識與技能】進一步熟悉證明的基本步驟和書寫格式，體會證明的必要性.【過程與方法】把等腰三角形與等邊三角形的性質進行比較，體會等腰三角形和等邊三角形的相同之處和不同之處.【情感態度】體驗數學活動中的探索與創造，感受數學的嚴謹性.【教學重點】等腰三角形、等邊三角形的相關性質.【教學難點】等腰三角形、等邊三角形的相關性質的應用.教學過程一、情景導入在回憶上節課等腰三角形性質的基礎上，提出問題：在等腰三角形中作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，你能發現其中一些相等的線段嗎？【教學說明】通過提問的形式，復習上節課學習的內容，提高學生的學習興趣.二、新課教授探究 1 在等腰三角形中自主作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，觀察其中有哪些相等的線段，并嘗試給出證明.【歸納結論】等腰三角形兩個底角的平分線相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中線相等如對于“等腰三角形兩底角的平分線相等”的證明方法：證明：AB=AC，ABC=ACBBD，CE為ABC，ACB的平分線，3=4在ABD和ACE中，3=4，AB=AC，A=A，ABDACE(ASA)BD=CE(全等三角形的對應邊相等)你能證明其它兩個結論嗎？探究2 求證：等邊三角形的三個內角都相等并且每個內角都等于60.已知：在ABC中，AB=BC=AC求證：A=B=C=60.證明：在ABC中，AB=AC，B=C(等邊對等角) 同理C=A，A=B=C（等量代換）又A+B+C180，A=B=C60【歸納結論】等邊三角形的三個內角都相等，并且每個內角都等于60.【教學說明】通過自主探究和同伴的交流，學生一般都能在直觀猜測、測量驗證的基礎上探究出結論.三、例題講解1.如圖,已知ABC和BDE都是等邊三角形.求證:AE=CD.證明：ABC和BDE都是等邊三角形，ABE=CBD=60, AB=CB, BE=BD.在ABE與CBD中,AB=CB,ABE=CBD,BE=BD.ABECBD(SAS).AE=CD.2.如圖，在ABC中，AB=AC，點E在CA的延長線上，且EDBC于點D.求證：AE=AF.證明：AB=AC,B=C.EDBC,B+BFD=90,C+E=90.BFD=EFA,B+EFA=90.C+E=90,B=C,EFA=E0AE=AF.3.如圖，在ABC中，A=20，D在AB上，AD=DC，ACDBCD=23，求ABC的度數.解：AD=DC，ACD=A=20.ACDBCD=23,BCD=30.ACB=50.ABC=110.【教學說明】在鞏固等邊三角形的性質的同時，進一步對等腰三角形的性質進行綜合應用，在書寫過程中掌握綜合證明法的基本要求和步驟，規范證明的書寫格式四、課堂小結掌握證明的基本步驟和書寫格式，經歷“探索發現猜想證明”的過程，能夠用綜合法證明等腰三角形的兩條腰上的中線（高），兩底角的平分線相等，等邊三角形三個內角都相等并且每個內角都等于60.布置作業教材“習題1.2”中第2、3 題.教學反思在探究時，對學生探究的結果予以匯總、點評，鼓勵學生在自己做題目的時候也要多思多想，并要求學生對猜測的結果給出證明.第3課時 等腰三角形的判定及反證法教學目標【知識與技能】探索等腰三角形的判定定理,掌握反證法.【過程與方法】理解等腰三角形的判定定理，并會運用其進行簡單的證明.【情感態度】培養學生的逆向思維能力.【教學重點】理解等腰三角形的判定定理.【教學難點】了解反證法的基本證明思路，并能簡單應用教學過程一、情景導入問題1 等腰三角形的性質定理的內容是什么？這個命題的題設和結論分別是什么？問題2 我們是如何證明上述定理的？【教學說明】通過問題回顧等腰三角形的性質定理以及證明的思路，要求學生獨立思考后再進行交流.二、新課教授1.我們把等腰三角形的性質定理的條件和結論反過來還成立嗎？如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等嗎？【歸納結論】有兩個角相等的三角形是等腰三角形.（簡稱：等角對等邊）2.小明說，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等你認為這個結論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?我們來看一位同學的想法：如圖，在ABC中，已知BC，此時AB與AC要么相等，要么不相等假設AB=AC，那么根據“等邊對等角”定理可得C=B，但已知條件是BC，“C=B”與已知條件“BC”相矛盾，因此ABAC.你能理解他的推理過程嗎?再例如，我們要證明ABC中不可能有兩個直角，也可以采用這位同學的證法，假設有兩個角是直角，不妨設A=90，B=90，可得A+B=180，但A+B+C=180, “A+B=180”與“A+B+C=180”相矛盾，因此ABC中不可能有兩個直角 引導學生思考：上面兩道題的證法有什么共同的特點呢?【歸納結論】都是先假設命題的結論不成立，然后由此推導出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾的結果，從而證明命題的結論一定成立這也是證明命題的一種方法，我們把它叫做反證法 【教學說明】總結這一證明方法，敘述并闡釋反證法的含義，讓學生了解.三、例題講解1.已知：如圖，CAE是ABC的外角，ADBC，且1=2求證：AB=AC證明：ADBC，1=B(兩直線平行，同位角相等)，2=C(兩直線平行，內錯角相等) 又1=2，B=CAB=AC(等角對等邊)2. 如圖，BD平分CBA，CD平分ACB，且MNBC，設AB=12，AC=18，求AMN的周長.解：BD平分CBA，CD平分ACB，MBD=DBC,NCD=BCD.MNBC,MDB=DBC,NDC=BCD.MDB=MBD,NDC=NCD. MB=MD,NC=ND.CAMN=AM+AN+MN=AM+AN+MD+ND=AM+AN+MB+NC=(AM+MB)+(AN+NC) =AB+AC=30.3.在ABC中，BDAC于點D，CEAB于點E，BD = CE.求證：ABC是等腰三角形.解：SABC=(ABCE)=(ACBD)且BD = CE，AB=AC.ABC是等腰三角形.4.如圖，在ABC中，AB = AC，DEBC.求證：ADE是等腰三角形.證明：AB = AC，B=C.DEBC，B=E，D=C.D=E.ADE是等腰三角形.5.求證：垂直于同一條直線的兩條直線平行.證明：如圖，假設a，b 不平行，那么a，b 相交 .ac，bc，1=900，2=900. 1+2=180.而a、b相交，則1+2180與1+2=180相矛盾.假設不成立. 垂直于同一條直線的兩條直線平行.【教學說明】學生在獨立思考的基礎上再小組交流,培養學生應用知識解決問題的能力.四、課堂小結結合本節課的學習，談談等腰三角形性質的判定的區別和聯系布置作業教材“習題1.3”中第1、2、3 題.教學反思通過學生的練習，發現學生對等腰三角形的判定定理掌握的較好，而用反證法證明定理的應用掌握不夠好，應在這方面多加練習講解.第4課時 等邊三角形的判定教學目標【知識與技能】理解等邊三角形的判定條件及其證明，理解含有30角的直角三角形的性質及其證明，并能利用這兩個定理解決一些簡單的問題.【過程與方法】經歷運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初步的符號感，發展抽象思維.【情感態度】在數學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心.【教學重點】等邊三角形判定定理的發現與證明.【教學難點】了解反證法的基本證明思路，并能簡單應用.教學過程一、情景導入1.等腰三角形的性質和判定定理是什么？2.等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形，具有哪些性質呢？又如何判別一個三角形是等邊三角形呢？【教學說明】開門見山，引入新課，同時回顧，也為后續探索提供了鋪墊.二、新課教授1.一個三角形滿足什么條件時是等邊三角形？一個等腰三角形滿足什么條件時是等邊三角形？請證明自己的結論，并與同伴交流. 【教學說明】學生自主探究等腰三角形成為等邊三角形的條件，并交流匯報各自的結論，教師適時要求學生給出相對規范的證明，概括出等邊三角形的判別條件，并引導學生總結.2.用含30角的兩個三角尺，你能拼成一個怎樣的三角形?能拼出一個等邊三角形嗎?在你所拼得的等邊三角形中，有哪些線段存在相等關系，有哪些線段存在倍數關系，你能得到什么結論？說說你的理由【教學說明】學生通過動手操作、觀察，找出一些線段存在相等關系.從而得出結論，并加深印象.在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.【歸納結論】1.三個角都相等的三角形是等邊三角形；2.有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形.三、例題講解1.見教材P11例3.2.已知：如圖，在RtABC中，C=90，BC=AB求證：BAC=30證明：延長BC至點D，使CD=CB，連接AD.ACB=90，ACD=90又AC=AC，ACBACD(SAS)AB=ADCD=BC，BC=BD又BC=AB，AB=BDAB=AD=BD，即ABD是等邊三角形B=60在RtABC中，BAC=303.如圖，ABC是等邊三角形，BD = CE，1 =2.求證：ADE是等邊三角形.證明：ABC是等邊三角形,AB=AC.在ABD與ACE中,AB=AC,1 =2,BD = CE,ABDACE（SAS）.BAD=CAE,AD=AE.EAD=BAC=60.ADE是等邊三角形(有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形).4.如圖，在RtABC中，B = 30，BD = AD，BD = 12，求DC的長.解：BD = AD，B =BAD= 30.ADC=60.C=90,DAC=30.在RtADC中,DAC=30，CD=AD(在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).BD = AD=12,CD=6. 【教學說明】變式訓練,鞏固新知.注意幾何語言.熟練運用直角三角形的有關性質.四、課堂小結掌握證明與等邊三角形、直角三角形有關的性質定理和判定定理.布置作業教材“習題1.4”中第3、5題.教學反思通過反復練習，學生對本節課的知識掌握的較好，就是幾何證明過程不夠嚴密，有待加強.2 直角三角形第1課時 直角三角形的性質定理教學目標【知識與技能】1.掌握直角三角形的性質定理（勾股定理）及判定定理的證明方法，并能運用定理解決與直角三角形有關的問題.2.結合具體例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立.【過程與方法】進一步經歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初步的符號感，發展抽象思維【情感態度】體驗生活中數學的應用價值，感受數學與人類生活的密切聯系，激發學生學數學、用數學的興趣.【教學重點】掌握直角三角形的性質定理（勾股定理）及判定定理的證明方法.【教學難點】運用定理解決與直角三角形有關的問題教學過程一、情景導入我們學過直角三角形的哪些性質和判定方法？與同伴交流.【教學說明】回顧舊知，也為后續探索提供了鋪墊.二、新課教授探究1 直角三角形的性質和判定.直角三角形的兩個銳角有什么關系？為什么？如果一個三角形的兩個角互余，那么這個三角形是什么三角形？為什么？【教學說明】讓學生在解決問題的同時，總結直角三角形的一般性質.【歸納結論】直角三角形的兩個銳角互余；有兩個角互余的三角形是直角三角形.探究2 勾股定理及其逆定理.教材中曾利用數方格和割補圖形的方法得到了勾股定理如果利用公理及由其推導出的定理，能夠證明勾股定理嗎?【教學說明】教師引導學生思考，寫出證明過程.【歸納結論】勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形探究3 互逆命題和互逆定理.觀察上面兩個命題，它們的條件和結論之間有怎樣的關系?在前面的學習中還有類似的命題嗎?上面兩個定理的條件和結論互換了位置，即勾股定理的條件是第二個定理的結論，結論是第二個定理的條件在前面的學習中還有類似的命題嗎?【教學說明】教師應注意給予適度的引導，學生若出現語言上不嚴謹時，要先讓這個疑問交給學生來剖析，然后再總結.【歸納結論】在兩個命題中，如果一個命題條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.如果一個定理的逆命題經過證明是是真命題，那么它也是一個定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆.三、例題講解1.說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假:（1）四邊形是多邊形；（2）兩直線平行，同旁內角互補；（3）如果ab0，那么a0， b0.解：（1）多邊形是四邊形原命題是真命題，而逆命題是假命題（2）同旁內角互補，兩直線平行原命題與逆命題同為真命題（3）如果a0，b0，那么ab0原命題是假命題，而逆命題是真命題2.如圖，BADA于點A，AD = 12，DC = 9，CA = 15.求證：BADC.證明：在ADC中，AD = 12，DC = 9，CA = 15.AD2+DC2=CA2,ADC是直角三角形.ADCD.BADA,BADC.3.某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開辟為生物園，如圖所示，ACB90，AC80米，BC60米，若線段CD是一條小渠，且點D在邊AB上，已知水渠的造價為10元/米，問點D在距點A多遠處時，水渠的造價最低？最低造價是多少？解：當CDAB時，CD最短，造價最低.ACB90，AC80，BC60，AB=100.設AD=x,則BD=100-x.在RtADC與RtBDC中,CD2=AC2-AD2,CD2=BC2-BD2.AC2-AD2=BC2-BD2，即802-x2=602-（100-x）2. 解得x=64.在RtADC中，CD=48.最低造價是：4810=480（元）.你還能用其他方法求出CD的長嗎？（提示：用面積法）4.已知：如圖，在ABC中，C90，BCa，ACb，ABc求證：a2+b2c2證明：延長CB至點D，使BDb，作EBDA，并取BEc，連接ED、AE（如圖），則ABCBEDBDE90，EDa四邊形ACDE是直角梯形S梯形ACDE(a+b)(a+b)（a+b）2ABE180（ABCEBD）1809090，ABBE，SABEc2 . S梯形ACDESABE+SABC+SBED，（a+b）2c2 + ab + ab, 即a2 + ab + b2c2 + ab.a2+b2c2四、課堂小結這節課我們了解了勾股定理及逆定理的證明方法，并結合數學和生活中的例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立，掌握了證明方法，進一步提高了演繹推理的能力布置作業教材“習題1.5”中第2、3題.教學反思在教學互逆命題和互逆定理時，要強調互逆命題是相對兩個命題而言的，單獨一個命題稱不上互逆命題；一個命題是真，它的逆命題可能是真，也可能是假.第2課時 直角三角形全等的判定教學目標【知識與技能】能夠證明直角三角形全等的“HL”定理，進一步理解證明的必要性.【過程與方法】進一步經歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初步的符號感.【情感態度】進一步掌握推理證明的方法，發展演繹推理能力.【教學重點】能夠證明直角三角形全等的“HL”定理.【教學難點】進一步理解證明的必要性.教學過程一、情景導入1.判斷兩個三角形全等的方法有哪幾種？2.已知一條邊和斜邊，求作一個直角三角形.想一想，怎么畫？同學們相互交流.3.有兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等嗎？如果其中一個角是直角呢？請證明你的結論.【教學說明】教師順水推舟，詢問能否證明：“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等”，從而引入新課.二.思考探究，獲取新知探究 “HL”定理.已知：在RtABC和RtABC中，C=C=90，AB=AB，BC=BC求證：RtABCRtABC.證明：在RtABC中，C=90，AC2=AB2一BC2(勾股定理)同理A C 2=AB2一BC2AB=AB，BC=BC，AC=ACRtABCRtABC (SSS)【歸納結論】斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等這一定理可以簡述為“斜邊、直角邊”或“HL”【教學說明】講解學生的板演，借此進一步規范學生的書寫和表達.三、例題講解1.見教材P20例題.2.填空：如下圖，RtABC和RtDEF，C=F=90.（1）若A=D，AC=DF，則RtABCRtDEF的依據是 ；（2）若A=D，AB=DE，則RtABCRtDEF的依據是 ；（3）若AC=DF，AB=DE，則RtABCRtDEF的依據是 ；（4）若AC=DF，CB=FE，則RtABCRtDEF的依據是 ；答案（1）ASA （2）AAS （3）HL（4）SAS3.已知：RtABC和RtABC，C=C=90，BC=BC，BD,BD分別是AC,AC邊上的中線，且BD=BD. 求證：RtABCRtABC證明：在RtBDC和RtBDC中，BD=BD,BC=BC,RtBDCRtBDC (HL)CD=CD又AC=2CD，AC=2CD，AC=AC在RtABC和RtABC中，BC=BC，C=C=90，AC=AC，RtABCRtABC(SAS)4.如圖，在ABCABC中，CD，CD分別分別是高，并且ACAC，CD=CDACB=ACB求證：ABCABC證明：CD，CD分別是ABC，ABC的高，ADC=ADC=90在RtADC和RtADC中，AC=AC，CD=CD ，RtADCRtADC (HL)A=A在ABC和ABC中，A=A，AC=AC ，ACB=ACB ，ABCABC (ASA)四、課堂小結直角三角形的判定方法有五種，注意“HL”僅適用于直角三角形.布置作業教材“習題1.6”中第3、4、5 題.教學反思本節課我們討論了在一般三角形中兩邊及其一邊對角對應相等的兩個三角形不一定全等而當一邊的對角是直角時，這兩個三角形是全等的，從而得出判定直角三角形全等的特殊方法HL定理，并用此定理安排了一系列具體的、開放性的問題，不僅進一步掌握了推理證明的方法，而且發展了同學們演繹推理的能力同學們這一節課的表現，很值得夸贊3線段的垂直平分線第1課時 線段垂直平分線的性質定理及逆定理教學目標【知識與技能】證明線段垂直平分線的性質定理和判定定理【過程與方法】經歷探索、猜測、證明的過程，進一步發展學生的推理證明能力,豐富對幾何圖形的認識【情感態度】通過小組活動，學會與他人合作，并能與他人交流思維的過程和結果.【教學重點】運用幾何符號語言證明垂直平分線的性質定理及其逆定理.【教學難點】垂直平分線的性質定理在實際問題中的運用.教學過程一、情景導入如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應建在什么位置?【教學說明】從實際問題入手，提高學生的學習興趣，使學生明白數學來源于生活，用于生活.二.思考探究，獲取新知探究1 垂直平分線的性質.已知：直線MNAB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意點求證：PA=PB證明：MNAB，PCA=PCB=90AC=BC，PC=PC,PCAPCB(SAS)PA=PB(全等三角形的對應邊相等)【歸納結論】線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等探究2 垂直平分線判定.你能寫出上面這個定理的逆命題嗎?它是真命題嗎?逆命題就很容易寫出來，“如果有一個點到線段兩個端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上”寫出逆命題后時，就想到判斷它的真假如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說明引導學生分析證明過程.已知：線段AB，點P是平面內一點且PA=PB求證：點P在AB的垂直平分線上證明：過點P作已知線段AB的垂線PC,PCA=PCB=90. PA=PB，PC=PC，RtPACRtPBC(HL)AC=BC，點P在AB的垂直平分線上【教學說明】此處證明可讓學生用多種方法證明.【歸納結論】到一條線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.三、例題講解1.已知：如圖，在 ABC 中，AB = AC，O 是 ABC 內一點，且 OB = OC.求證：直線 AO 垂直平分線段BC證明： AB = AC， 點 A 在線段 BC 的垂直平分線上（到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）.同理，點 O 在線段 BC 的垂直平分線上. 直線 AO 是線段 BC 的垂直平分線（兩點確定一條直線）.2.如圖，DE為ABC的AB邊的垂直平分線，D為垂足，DE交BC于點E， AC = 5，BC = 8，求AEC的周長.解：DE為ABC的AB邊的垂直平分線,AE=BE.CAEC=AC+AE+CE=AC+BE+CE=AC+BC=5+8=13.3.如圖，已知：線段CD垂直平分AB，AB平分DAC. 求證：ADBC證明：CD是AB的垂直平分線，AC=BC,CAB=B,又CAB=DAB,DAB=B,ADBC.4.如圖，已知：AD是ABC的高，E為AD上一點，且BE=CE. 求證：ABC是等腰三角形.證明：BE=CE，ADBCAD是BC的垂直平分線，AB=AC,ABC是等腰三角形.5.如圖，已知：ABBC，CDBC，AMB=75,DMC=45，AM=DM. 求證：AB=BC.證明：連接AC.AMD=1807545=60，且AM=DM，AMD是等邊三角形.AM=AD. 又MDC=9045=45，MDC=DMC，CD=CM，AC為DM的垂直平分線，又CD=CMCH是DCM角平分線.ACM=9045=45.BAC=180-B=ACM=90-ACM=45AB=BC.【教學說明】學生是第一次證明一條直線是已知線段的垂直平分線，因此老師要引導學生理清證明的思路和方法并給出完整的證明過程.四、課堂小結通過這節課的學習你有哪些新的收獲？還有哪些困惑？布置作業教材“習題1.7”中第1、3 題.教學反思由于本節課是對垂直平分線的性質與判定的綜合應用，學生掌握起來難度較大，所以要引導學生理清證明的思路和方法并給出完整的證明過程.第2課時 垂直平分線的應用教學目標【知識與技能】1.能夠證明三角形三邊垂直平分線交于一點.2.垂直平分線的應用.【過程與方法】經歷探索、猜測、證明的過程，進一步發展學生的推理證明意識和能力體驗解決問題的方法，提高實踐能力和創新意識.【情感態度】體驗數學活動中的探索與創造，感受數學的嚴謹性.【教學重點】作已知線段的垂直平分線.【教學難點】垂直平分線的應用.教學過程一、情景導入上節課我們學習了線段的垂直平分線，線段的垂直平分線的性質定理、判定定理是什么？【教學說明】回顧舊知，為本節課作準備.二、新課教授探究1 請同學們剪一個三角形紙片，通過折疊找出每條邊的垂直平分線，觀察這三條垂直平分線，你是否發現同樣的結論?與同伴交流【教學說明】讓學生自己經歷探究的過程，不要直接給出答案或很有指向性的提示.【歸納結論】三角形三邊的垂直平分線交于一點，這個點到三個頂點的距離相等.探究2：已知底邊及底邊上的高，求作等腰三角形已知：線段a、h求作：ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h作法：1作BC=a；2作線段BC的垂直平分線MN交BC于D點；3以D為圓心，h長為半徑作弧交MN于A點；4連接AB、AC.ABC就是所求作的三角形(如圖所示)探究3：已知直線 l 和 l 上一點 P，用尺規作 l 的垂線，使它經過點 P.如果點 P 是直線 l 外一點，那么怎樣用尺規作 l 的垂線，使它經過點 P 呢？【教學說明】學生先獨立思考完成，然后交流，說出做法并解釋作圖的理由.三、例題講解1.如圖，已知：在ABC中，AB、BC邊上的垂直平分線相交于點P. 求證：點P在AC的垂直平分線上.證明：P是AB、BC邊上的垂直平分線，AP=BP,BP=CP，AP=CP，P點在AC的垂直平分線上.2.如圖所示，在RtABC中，C=90，A=30（1）尺規作圖：作線段AB的垂直平分線l（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在已作的圖形中，若l分別交AB、AC及BC的延長線于點D、E、F，連接BE求證：EF=2DE.解：（1）直線l即為所求（2）證明：在RtABC中，A=30，ABC=60.又l為線段AB的垂直平分線，EA=EB，EBA=A=30，AED=BED=60.EBC=30=EBA，FEC=60又EDAB，ECBC，ED=EC在RtECF中，FEC=60，EFC=30.EF=2EC.EF=2ED四、課堂小結本節課通過推理證明了“到三角形三個頂點距離相等的點是三角形三條邊的垂直平分線的交點，及三角形三條邊的垂直平分線交于一點”的結論，并能根據此結論“已知等腰三角形的底和底邊的高，求作等腰三角形”布置作業教材“習題1.8”中第1、2 題.教學反思讓學生動手畫出符合要求的三角形，訓練他們的作圖技能，要注意提醒學生正確使用直尺和圓規，規范作圖.4 角平分線第1課時 角平分線的性質定理及其逆定理教學目標【知識與技能】會證明角平分線的性質定理及其逆定理【過程與方法】經歷探索、猜測、證明的過程，進一步提高學生的推理證明意識和能力體驗解決問題的方法，發展實踐能力和創新意識.【情感態度】經歷探索、猜想、證明使學生掌握研究解決問題的方法.【教學重點】正確地表述角平分線性質定理的逆命題及其證明.【教學難點】正確地表述角平分線性質定理的逆命題及其證明.教學過程一、情景導入讓學生到黑板上畫出他們收集到的日常生活中應用角平分線的例子，并分別說出它們的作用.【教學說明】高度評價學生的參與熱情和學習成果，激勵學生繼續努力.尤其是對于其中很有創意的發現，可以以該學生名字命名，以此鼓勵.提高學生的積極性.二、新課教授探究1 角平分線定理已知：如圖，OC是AOB的平分線，點P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分別為D、E求證：PD=PE證明：1=2，OP=OP，PDO=PEO=90，PDOPEO(AAS)PD=PE(全等三角形的對應邊相等)【教學說明】請同學們自己嘗試著證明上述結論，然后在全班進行交流教師在教學過程中對有困難的學生要給予指導.【歸納結論】角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等. 探究2 角平分線的判定定理.已知：在AOB內部有一點P，且PDOA，PEOB，D、E為垂足且PD=PE.求證：點P在AOB的角平分線上證明：PDOA，PEOB，PDO= PEO=90在RtODP和RtOEP中,OP=OP，PD=PE，RtODP RtOEP(HL定理)1=2(全等三角形對應角相等)點P在AOB的角平分線上.【歸納結論】在一個角的內部，到角的兩邊距離